Descriptif du contenu du manuel Degré 12 maturité gymnasiale (1e PO collège)

les nombres entiers naturels et relatifs ;

opposé d'un entier ;

la différence entre chiffre et nombre ;

ordre des opérations ;

le vocabulaire lié aux opérations, différencier une opération de son résultat ;

gérer des calculs complexes (parenthèses imbriquées et ordre des opérations) ;

manipuler des puissances de 10 ;

interpréter une pyramide de puissances ;

utiliser la calculatrice pour des calculs élémentaires ;

lire, comprendre, se représenter et résoudre des problèmes ;

les règles du calcul numérique s'appliquent de manière similaire au calcul littéral ;

le vocabulaire lié aux expressions littérales : variable, constante, expression ;

définition et caractérisation algébrique des nombres pairs, impairs, multiples, se terminant par « ... », etc ;

hypothèse(s) implicite(s) ;

transformer en langage algébrique des informations données en français ;

transformer en langage algébrique une situation donnée en français ou graphiquement (modéliser un problème) ;

écrire en français une expression mathématique ;

manipuler les expressions algébriques simples ;

les principes de la construction mathématique: axiome – définition – conjecture – démonstration – théorème – contre-exemple ;

implications, hypothèses (parfois implicites), conclusions ;

contraposée et réciproque d'une implication, équivalence ;

équivalence entre une implication et sa contraposée; indépendance entre une implication et sa réciproque;

écrire une conjecture sous la forme d'une implication lorsque c'est possible ;

identifier les hypothèses et conclusions dans l'énoncé d'une implication ;

utiliser un contre-exemple pour invalider une conjecture ;

démontrer qu'une conjecture est vraie ;

énoncer réciproques et contraposées d'une implication donnée ;

ppcm, pgcd, division euclidienne, quotient, reste ;

proportionnalité ;

fractions, numérateur, dénominateur, amplifier, simplifier, fractions irréductibles ;

nombre décimal, période, nombre rationnel ;

puissances entière positive, nulle et négative ;

racine carrée d'un nombre ;

nombres irrationnels, nombres réels ;

différence entre un résultat exact (=) et un résultat approché (≅) ;

les résultats fournis par la calculatrice ne sont pas forcément exacts ;

déterminer ppcm, pgcd, division euclidienne avec reste ;

résoudre des problèmes de proportions ;

simplifier, amplifier une fraction; maîtriser les opérations sur les fractions ;

réduire en fraction irréductible, à la main et avec calculatrice ;

convertir un nombre rationnel: fraction vers nombre décimal et vice-versa ;

puissance d'exposant entier positif, nul ou négatif: calculs à la main et avec calculatrice ;

racines carrées: extraire les facteurs carrés, simplifier des expressions, rendre rationnel le "dénominateur" ;

utiliser les notations ensemblistes à bon escient ;

effectuer et représenter les opérations entre ensembles : union, intersection, différence ;

représenter des nombres dans des diagrammes de Venn ;

représenter des intervalles réels sur la droite réelle ;

traduire du français vers des notations ensemblistes et réciproquement ;

vocabulaire relatif aux expressions algébriques étudiées ici : somme, produit, terme, facteur ;

lien entre la distributivité et la mise en évidence ;

vocabulaire relatif aux manipulations des expressions algébriques : développer, réduire et factoriser ;

les avantages d'une forme factorisée ;

les outils pour développer ;

les outils pour factoriser ;

les identités remarquables comme des théorèmes que l'on sait démontrer ;

distinguer une expression sous forme de somme ou sous forme de produit ;

repérer les termes et les facteurs ;

développer et réduire une expression algébrique donnée ;

factoriser complètement une expression algébrique donnée en maîtrisant les différentes techniques proposées :

notion d'équations équivalentes, principes d'équivalence ;

degré d'une équation polynomiale ;

équation du 1^er degré, du 2^ème degré ;

théorème du produit nul ;

formule de Viète (théorème) ;

simplifier une équation ;

résoudre des équations de degré 1 ;

résoudre des équations de degré 2 par factorisation et en utilisant la formule de Viète ;

résoudre des équations de degré supérieur à 2 en se ramenant aux degrés 1 ou 2 par factorisation ;

utiliser la calculatrice pour résoudre une équation avec la formule de Viète ;

factoriser une expression du 2^ème degré ;

résoudre un problème en le modélisant par une équation ;

différencier l'objet géométrique (angle, segment, surface) de sa mesure (un nombre positif: longueur, aire);

statut d'une figure, d'un schéma en mathématiques : on représente approximativement une réalité idéale; attention de ne pas en tirer de conclusions hâtives ... ;

définitions et notations des objets géométriques de base du plan: points, droites, demi-droites, angles, segments;

définitions et notations pour les triangles : sommets, côtés, longueurs des côtés;

théorème sur la somme des angles d'un triangle;

angles particuliers : angles plats, pleins, droits, supplémentaires, complémentaires, opposés, correspondants, alternes-internes, alternes-externes;

triangles particuliers : isocèle, équilatéral, rectangle;

triangles semblables, côtés correspondants;

théorème de Thalès et sa réciproque;

théorèmes de la hauteur et d'Euclide ;

triangles isométriques ;

cas d'isométrie CCC, CAC et ACA; les autres « cas » ne suffisent pas ... ;

droites remarquables du triangle: bissectrices, médiatrices, hauteurs, médianes ;

cercle inscrit et circonscrit ;

déterminer des angles dans des cercles; <!-- @page { margin: 2cm } P { margin-bottom: 0.21cm } -->

démontrer le théorème « cercle de Thalès »;

démontrer les deux théorèmes sur les angles inscrits et les angles au centre et inscrit;

relations liant angles et longueurs des côtés dans le triangle rectangle (sin, cos, tan) ;

formules de base de la trigonométrie : sin²() + cos²() = 1 , ;

relations trigonométriques entre sinus, cosinus et tangente des angles complémentaires ;

valeurs exactes des sinus, cosinus et tangente de 30°, 45° et 60° ;

notions de repère orthonormé, origine, axes (abscisse et ordonnée), coordonnées, quadrants ; <!-- @page { margin: 2cm } P { margin-bottom: 0.21cm } -->

produit cartésien ;

distance entre deux points et point milieu d'un segment;

équations à deux inconnues, solutions ;

lien entre géométrie (lieux géométriques) et algèbre (équations) via la correspondance entre points situés sur un objet géométrique et couples solutions d'une équation donnée en x et y ;

pente d'une droite ;

équations de droites verticales et horizontales ;

formes cartésienne et réduite des équations de droites, influence des différents paramètres ;

vocabulaire et propriétés relatifs aux droites : pente, ordonnée à l'origine, droites parallèles, droites perpendiculaires ;

relation entre pentes de deux droites parallèles ou perpendiculaires ;

cercle : définition, centre, rayon, équation ;

parabole : définition, foyer, directrice, axe focal, sommet, équation  ;

• de centre et de rayon donnés ;
• de centre donné et passant par un point donné ;

systèmes d'équations ;

forme d'une solution : couple, triplet, etc ;

systèmes particuliers : sans solutions ou avec une infinité de solutions ;

vocabulaire : équations linéaires, système triangulé ;

lien entre intersections géométriques et résolution de systèmes

méthodes de résolution algébrique d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues : substitution, comparaison, addition ;

vérifier si un couple (un triplet) proposé est solution d'un système donné ;

représenter graphiquement un système de deux équations linéaires à deux inconnues ;

résoudre algébriquement (par substitution, par comparaison et par addition) un système de deux équations linéaires à deux inconnues ;

résoudre algébriquement un système de deux équations du premier ou deuxième degré à deux inconnues ;

poser et résoudre un système d'équations pour déterminer les points d'intersection de deux droites et/ou courbes (cercles, paraboles) ;

résoudre algébriquement un système de trois équations linéaires à trois inconnues ;

reconnaître les inconnues dans un problème et le mettre en équation à l'aide d'un système d'équations ;

fonction réelle ;

image, préimage, domaine de définition, ordonnée à l'origine, ensemble des zéros, représentation graphique ;

signe, tableau de signes, intervalles de croissance/décroissance ;

différence entre f, f(x) et représentation graphique de f ;

fonction constante, fonction du premier degré, fonction du deuxième degré, fonction identité ;

caractéristiques des fonctions du deuxième degré : axe de symétrie, sommet, concave/convexe, forme standard, forme factorisée, forme développée ;

autres fonctions élémentaires : racine carrée, un sur x, x cube, valeur absolue ;

opérations sur les fonctions ;

composition de fonctions ;

étant donnée l'expression algébrique d'une fonction, calculer des images et préimages ;

étant donnée la représentation graphique d'une fonction, déterminer des images et préimages

déterminer rapidement quelques paramètres :

savoir représenter des fonctions

déterminer la somme, la différence, le produit et le quotient de deux fonctions f et g ;

représenter graphiquement dans des cas simples somme, différence, produit et quotient de fonctions f et g à partir des représentations graphiques des fonctions f et g ;

déterminer la composition de deux fonctions f et g en identifiant les domaines de définition ;

étant donnée une fonction f , la décomposer en deux fonctions g et h telles que g ◦ h = f ;

décrire en français la transformation effectuée par une fonction dont on connaît l'expression algébrique d'une fonction ;

modéliser une situation à l'aide de fonctions ;