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Avertissement, découpage, objectifs par chapitre, liens avec le programme officiel

Remarques spécifiques au manuel de 1re

Les considérations suivantes ont guidé la réalisation du manuel de 1re :

  • certains élèves arrivent au collège (après avoir fini l'école obligatoire) avec une vision des mathématiques peu flatteuse ... ; ambition : leur proposer une vision qui parle de mathématiques de façon à les toucher et à les (re)mobiliser !
  • le programme de 1re année du collège comporte de très nombreux chapitres qui ont déjà été abordés précédemment ; ambition : leur parler de ces (mêmes) sujets d'une façon nouvelle qui évite le sentiment de redite et les motive !
  • de nombreux élèves n'ont pas acquis le passage à l'abstraction travaillé à l'école obligatoire; les notions de calcul littéral, de variables sont difficiles pour eux; et pourtant ce sont des notions indispensables pour entrer dans le monde mathématique, notions qui leurs seront demandées durant toutes leurs études ; ambition : revenir explicitement sur ces notions et les travailler pour aider les plus faibles à "raccrocher" le train et consolider ces notions pour tous
  • on attend des élèves en 3e et 4e qu'ils sachent conjecturer et démontrer des résultats complexes; le travail autour de la construction mathématique et du raisonnement scientifique nous paraît devoir être intégrée en continu dès le début de la 1re; ambition : proposer explicitement des notions de construction mathématique (conjectures, démonstrations, contre-exemple) pour fonder des bases solides pour la suite
  • on observe que souvent les élèves ne maîtrisent  pas les notations mathématiques, en particulier les notations ensemblistes; ambition : expliciter ces notions dans un chapitre spécifique
  • tous les élèves ont entendu parler de Pythagore, voir de Thalès ... en tant que théorèmes ; mais que savent-ils du contexte et des personnages historiques sous-jacents ? ambition: inscrire ces savoirs mathématiques particuliers dans leur contexte historique pour montrer - spécifiquement en géométrie - combien ce qui s'est passé à cette époque a marqué notre civilisation
  • s'appuyer sur une vision "historique" de la construction de la notion de fonction, soit après avoir travaillé la géométrie et l'algèbre, les associer via la géométrie cartésienne pour étudier le lien entre représenations graphiques et équations avant de passer à la notion de fonction

Parfois, la lecture des premiers chapitres peut parfois dérouter le lecteur lambda (surtout s'il est enseignant!), qui se demandera où on veut aller ...

  • le premier chapitre n'aborde que les nombres et vise à inscrire dès le début de l'année l'idée que nous allons souvent durant cette année scolaire "revoir" des notions déjà abordées à l'école obligatoire, mais en adoptant un autre point de vue... Il ne s'agit donc pas de révision "classique", mais plutôt d'un approfondissement;
    on insiste ainsi sur le "passage des nombres aux lettres"; en effet, ce qui paraît souvent évident à l'enseignant et aux bons élèves reste pour de nombreux élèves - en particulier ceux qui ont des difficultés en math - comme une étape incomprise ... Cette "nouvelle couche" de travail spécifique sur ce thème nous paraît un investissement au moins utile, éventuellement indispensable (charge à l'enseignant de moduler le temps consacré et le type d'exercices en fonction du type d'élèves);
    enfin, on essaye de "casser" l'image des maths comme des "règles" qu'on applique sans en comprendre le sens; on parle ainsi plutôt directement de définitions, de théorèmes (le choix est fait d'éviter l'usage de multiple noms (propriétés, lemmes, ...) pour des résultats démontrables);
    pour les élèves avancés, il existe un complément sur les systèmes de numération qui permet d'approfondir le travail autour des paramètres de notre système de numération (positionnel, base 10, ...). Par ailleurs, on insiste immédiatement sur différents aspects qui peuvent composer un enseignement des mathématiques: calcul, réflexion, éléments culturels, ...
    Attention : ce chapitre pourrait durer des mois, il s'agit donc pour le maître de faire des choix en fonction de ses élèves
  • le 2e chapitre aborde explicitement quelques notions de base liées aux ensembles, qui souvent n'apparaissent qu'implicitement dans nos enseignements et qui posent de nombreux problèmes aux élèves;
  • le 3e chapitre aborde des notions fondamentales liées à la construction mathématique (conjecture, démonstration, contre-exemple, ...). Souvent, ces notions sont traitées plus tard via la géométrie euclidienne, ou alors sont ponctuellement abordées mais sans avoir de statut clair, qui fait qu'elles risquent de ne pas être suffisamment identifiées comme importantes par les élèves. Elles nous paraissent tellement fondatrices d'un cours de math - dès la 1e ! - que nous avons souhaité les présenter une première fois dès le début d'année, dans un contexte technique plutôt simple (où l'on manipule alors seulement des entiers); elles seront reprises tout à long de l'année, en particulier dans les ch 8 et 9 sur la géométrie euclidienne;
  • le 4e aborde les fonctions, déjà vues au Cycle d'Orientation, de façon générale.
    Attention: nous définissons la fonction différemment de l'application (qui n'est pas utilisée ici)
  • le 5e chapitre parle des degrés 0 et 1 et le 7e du degré 2 "globalement" : càd qu'on approche simultanément l'algèbre (équations) et la géométrie (représentations graphiques)
  • le 6e chapitre, on retrouve des sujets et des contenus bien plus "classiques" autour de la factorisation
  • les chapitres 8 et 9 de géométrie euclidienne insistent sur quelques aspects historico-culturels qui nous paraissent pouvoir être abordé dans ce contexte ainsi que sur la construction mathématique


Découpage et objectifs en 1re année

en bleu : déplacement d'année par rapport au programme officiel

Titre

NB sem indicatif

(hors évaluation et travaux de groupes)

Savoirs fondamentaux
[nécessaire pour la suite des études / traités dans les semestrielles]

Lien avec programme officiel

Rentrée -> 1re semestrielle = environ 30 cours de 90', dont 2x90' pour travail récapitulatif, 3x 30' petit travail et 2x 90' pour travail de groupe; reste environ 25 cours de 90'
Rappel : tout ne peut pas être traité de ce qui est proposé dans le manuel -> faire des choix, fixer des priorités ...

1:Nombres

env 8x90'

 

  • calcul de fractions
  • puissances entières : définitions, démonstrations des propriétés, calculs
  • racines carrées : définition, utilisation des propriétés pour les calculs [simplifier, rendre rationnel le dénominateur (inclu multiplier par le conjugué]
  • énoncer et démontrer l'irrationalité de racine de 2
    cf obj généraux ALG-FCT-GEO

    2:Ensembles

    env 3.5x90'
    • ensembles de nombres
    • vocabulaire et opérations entre ensembles
    • intervalles
    cf obj généraux ALG-FCT-GEO
    3:Argumenter env 6.5x90'
    • vocabulaire de base (déf, implication, conj, dém, contre-ex, thm, réciproque, contraposée...)
    • comprendre le principe de la justification du vrai et du faux
    • savoir démontrer à partir d'un "pack" d'outils de base (surtout des déf)
    cf obj généraux ALG-FCT-GEO
    4:Fonctions env 4x90'
    • déf et représentation de la notion de fct

    • voc de base (im, préim, zéros, oo, Df, tds, courbe repr.) : lecture graphique et calculs simples

    • fonctions élémentaires (racine carrée, inverse, identité, carré, cube, valeur absolue)
    • modélisation simple
    • Mettre en évidence la notion de relation entre des grandeurs dépendantes

    • Déterminer le domaine de définition d’une fonction

    • Représenter graphiquement une fonction

    • Lire sur un graphique les images, préimages

    • mathématiser, en liaison avec les fonctions étudiées, des situations simples !

    5:Degrés 0 et 1

    env 3x90' -> syst non inclus
    • expression, équation, identité
    • sol. ens de sol, résoudre, éq. équivalentes
    • éq à une var de degré 1
    • équations linéaires et affines ax+by=c, x=a, y=b, repr graphique, parallélisme/perp
    • fcts de degré 0 et 1
    • syst 2x2
    • avancés : syst 3x3
    • résoudre des équations du premier degré, du second degré ;

    • Représenter graphiquement une fonction du premier degré (pente, ordonnée à l’origine, zéro)

    • Exprimer une fonction du premier degré à partir de sa représentation graphique

    • Construire, reconnaître et utiliser des équations de droites (parallélisme, perpendicularité) [en 2e dans pr]

    • résoudre des systèmes linéaires à deux inconnues

    • résoudre des systèmes linéaires à 3 inconnues
    • mathématiser, en liaison avec les fonctions étudiées, des situations simples !
    Fin décembre -> semestrielle récapitulative 1

    6:Calcul littéral

    3
    • factoriser ou développer / termes-facteurs
    • outils de base pour dév/fact
      1. mise en évidence
      2. id.rem
      3. avancés : trucs et astuces
    • double mise en évidence [
    • additionner et multiplier des polynômes ;

    • connaître et maîtriser des identités remarquables élémentaires ;

    • maîtriser les procédés de factorisation ( mise évidence, identités) ;

    7:Degré2

    6
    • expressions de d°2 : formes développée, factorisée et canonique; factorisation par IdRem et Viète
    • équations de d°2; résolution par factorisation et par Viète

    • fonctions de d°2 : repr graph, paraboles

    • intersections droites/paraboles

    • éq de d°sup par factorisation
    • avancés : énoncer et démontrer les formules de la forme canonique et Viète
    • résoudre des équations du premier degré, du second degré ;

    • Représenter graphiquement une fonction du deuxième degré (ordonnée à l’origine, zéros, sommet)

    • Exprimer une fonction du deuxième degré à partir de sa représentation graphique

    • mathématiser, en liaison avec les fonctions étudiées, des situations simples !
    • résoudre par factorisation des équations de degré supérieur à 2 ;

    • Déterminer, algébriquement et graphiquement, l’intersection entre deux fonctions polynomiales

    8:De Thalès à Pythagore 5

    Intention :

    1. travailler la construction mathématique de la géométrie euclidienne (ax-déf-thm ...)
    2. travailler Pythagore, Thalès et leurs réciproques pour résoudre des problèmes

     

    Pour 1., une façon de faire (jmd)

    • Etape 1 : boîte à outil de base de la géométrie plane (ax,déf,thm) -> un exemple + énoncer et démontrer les thms : "angles opposés", "angles alt-int", "somme angles triangle = 180", "somme angles quadrilatère = 360"

    • Etape 2 : triangles semblables, côtés correspondants, thm "Thalès" [avancés : démonstration]/contraposée + réciproque//contraposée de la réciproqu e[avancés : démonstration] + résoudre des problèmes

    • Etape 3 : thm "Pythagore"/contraposée [démonstration] + réciproque//contraposée de la réciproque [no démo] + thm de la hauteur et Euclide [démo] + résoudre des problèmes

    • Identifier les relations entre les angles d’une figure donnée (angles isométriques, angles au centre, angles inscrits,...)

    • Maîtriser une démonstration des théorèmes de Pythagore, d’Euclide et de la hauteur

    • Résoudre des problèmes faisant intervenir les rapports de similitude et les théorèmes fondamentaux

    • Maîtriser les définitions et les propriétés des bissectrices, médianes, médiatrices et hauteurs

    9:Cercles

    2
    • suite de la boîte à outils :

      Etape 4 : géom eucl du cercle : thms cercle de Thalès/angles inscrit et au centre/angles inscrits : énoncer, démontrer + résoudre des problèmes avec les thms cercles inscrits et au centre et les autres outils de géométrie

    10:Trigo tr rect

    3 Intention : faut-il continuer avec les justifications et màj la boîte à outils ou au contraire valider explicitement une séquence plus calculatoire/modélisation
    • trigo du tr rectangle : définitions
    • énoncer des propriétés / démontrer "sin²+cos²=1", "tan=sin/cos" et "valeurs exactes pour 30,45 et 60"
    • résoudre des problèmes avec la trigo et avec les autres outils de géométrie

    ATTENTION : LA PARTIE SUR LES ÉQUATIONS DE CERCLES N'EST PLUS TRAITEE EN 1RE ANNEE MAIS EST PASSEE DANS LE NOUVEAU MANUEL DE 2E ANNEE (INCLUE DANS LE CH1)

    • Utiliser les rapports trigonométriques pour résoudre des triangles rectangles

    • Mathématiser puis résoudre des problèmes divers

    11:

    ATTENTION : LE CH 11 SUR LA SUITE DE LA GÉOMETRIE RAISONNÉE N'EST PLUS TRAITE EN 1RE ANNEE MAIS EST PASSE DANS LE NOUVEAU MANUEL DE 2E ANNEE (DEVENU LE CH2 DE 2E)
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