Descriptif du PER 9ème

Le PER décompose les apprentissages en mathématiques selon 4 orientations :

• espace
• nombres - opérations
• opérations
• grandeurs et mesures

La progression des apprentissages et les attentes fondamentales sont déclinées en trois niveaux :

• le niveau 1 correspond aux apprentissages et aux attentes fondamentales ;
• le niveau 2 correspond aux apprentissages et aux attentes moyennes ;
• le niveau 3 correspond aux apprentissages et aux attentes élevées.

Pour chacun des chapitres nous présentons dans une première partie le PER et ensuite les chapitres de la brochure. Pour faciliter la lecture nous avons utiliser des couleurs pour les différents niveaux : niveau 1, niveau 2, niveau 3. Sachant que ces niveaux s''incluent les un dans les autres nous avons simplement mis les ajouts dans les couleurs correspondantes. une version openoffice de ce document est disponible ici (version du 26.11.2009)

Espace (MSN 31; 35)

Problèmes

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• résout des problèmes géométriques en faisant appel à une ou plusieurs des composantes suivantes :
  
  • choix et mise en relation des données nécessaires à la résolution
  • mobilisation des propriétés des figures et des transformations
  • utilisation des outils de construction appropriés
  • élaboration de cheminements déductifs basés sur des figures géométrique
  • vérification de la pertinence du résultat
  • communication de la démarche et du résultat en utilisant un vocabulaire adéquat

- Progression des apprentissages 9e

• Résolution de problèmes géométriques en lien avec les figures et les transformations étudiées, notamment :
• tri et organisation des informations (liste, tableau, schéma, croquis,…)
• mise en œuvre d’une démarche de résolution
• ajustement d’essais successifs
• pose de conjectures, puis validation ou réfutation
• déduction d’une ou plusieurs informations nouvelles à partir de celles qui sont connues
• réduction temporaire de la complexité d’un problème
• utilisation des propriétés des figures et des transformations géométriques pour établir des preuves
• vérification, puis communication d'une démarche et d'un résultat en utilisant un vocabulaire ainsi que des symboles adéquats

Figures géométriques planes :

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• reconnaît, nomme, décrit et construit : droites parallèles, droites perpendiculaires, hauteurs, angles, triangles, quadrilatères, cercle, médiatrice d'un segment, bissectrice d'un angle, cercles inscrit et circonscrit, tangente à un cercle, médianes d’un triangle, polygones réguliers
• utilise la somme des angles d'un triangle
  

• utilise de manière appropriée les instruments de géométrie (règle, équerre, compas, rapporteur)

• réalise un croquis comme support de réflexion, pour mémoriser ou communiquer des informations sans ambiguïté

- Progression des apprentissages 9e

• Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie(s), interne(s), côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de :
  
• Triangles, quadrilatères, cercles
• Reconnaissance et dénomination des angles (aigu, obtus, droit, plat)
• Reconnaissance, dénomination, propriétés et construction :
• droites parallèles, droites perpendiculaires
• angle, hauteur, médiatrice, bissectrice, cercle inscrit et circonscrit
• initiation tangente, médiane, centre de gravité
• Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l'échelle (y compris à l'échelle 1:1)

Solides

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• reconnaît et nomme et décrit: cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, pyramide, cylindre, cône, sphère
  
• réalise le développement d’un cube, d’un parallélépipède rectangle, d’un prisme droit, d'un  cylindre
  
• esquisse la représentation d’un solide par en développement ou par une perspective.

- Progression des apprentissages 9e

• Reconnaissance, description, dénomination de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non, ...):
  
  • cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide
    

• réalisation de développements et construction de solides
• cube, parallélépipède rectangle, prisme droit
• Représentation de solides en perspective.

Transformations géométriques

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• reconnaît, nomme et décrit une isométrie et une homothétie
• construit l’image d’une figure plane par une isométrie, par une homothétie
  
• construit le(s) axe(s) de symétrie et le centre de symétrie d’une figure plane
• agrandit et réduit une figure plane
• reconnaît des figures semblables

- Progression des apprentissages 9e

• Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale.
• Description et identification des caractéristiques d’une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de symétrie ou de rotation, conservation des grandeurs, ...)
• Décrit et identifie les caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de symétrie ou de rotation, conservation des grandeurs, ...)
• Anticipation de la position d’une figure plane après une ou plusieurs isométries
• Réalisation de frises ou de pavages à l’aide d’isométries.
• A l’aide des instruments ou de logiciels appropriés, construction de l’image d’une figure plane par une isométrie : translation, rotation, symétrie centrale, symétrie axiale
• Agrandissement et réduction de figures planes en utilisant la proportionnalité
  

Nombres (MSN 32; 33; 35)

Problèmes numériques

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• résout des problèmes numériques en faisant appel à une ou plusieurs des composantes suivantes :
• choix et mise en relation des données nécessaires à la résolution
• choix des opérations
• utilisation d’outils de calculs appropriés
• estimation et vérification de la pertinence du résultat
• communication de la démarche et du résultat, en utilisant un vocabulaire adéquat
• traduit un problème numérique en une écriture mathématique appropriée
• utilise les fonctions de base de la calculatrice (+, -,  ·, :, racine, puissance, mémorisation, ...) et met en lien le résultat obtenu avec le résultat attendu
• explore un ensemble de possibilités et organise un dénombrement
• conduit un raisonnement probabiliste simple en dénombrant les cas favorables et les cas possibles (cartes, dés, pièces de monnaie, ...)

- Progression des apprentissages 9e

• Résolution de problèmes numériques en lien avec les ensembles de nombres travaillés, l’écriture de ces nombres et les opérations étudiées, notamment :
• tri et organisation des informations (liste, tableau, schéma, croquis, …)
• mise en œuvre d’une démarche de résolution
• ajustement d’essais successifs
• pose de conjectures, puis validation ou réfutation
• déduction d’une ou plusieurs informations nouvelles à partir de celles qui sont connues
• réduction temporaire de la complexité d’un problème
• utilisation des propriétés des nombres et des opérations pour établir des preuves
• traduction des données d'un problème en opérations arithmétiques, en respectant les conventions d'écriture
• choix de l'outil de calcul le mieux adapté à la situation et à ses propres compétences
• utilisation de la calculatrice dans des situations où l'aspect calculatoire est secondaire, pour vérifier le résultat d'un calcul ou pour effectuer des calculs complexes
• acceptation ou refus d'un résultat par l'estimation de l'ordre de grandeur, la connaissance des opérations ou la confrontation au réel
• vérification, puis communication d'une démarche et d'un résultat en utilisant un vocabulaire, une syntaxe ainsi que des symboles adéquats
• Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,…
• Prise en compte de l’ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations

Nombres

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• utilise quelques critères de divisibilité : 2, 3, 5, 9, 10, 25, 100
• décompose un nombre inférieure à 1000 en un produit de facteurs premiers
• détermine le ppmc et le pgdc de deux nombres (10 et 15 ; 12 et 20, 56 et 84, 45 et 75,…)
• complète une suite de nombres et exprime sa loi de formation (suites arithmétiques, suite des carrés, suite des puissances de 2, de 10, et 3, de 5, suites géométriques, suite des cubes, ...)
  
• reconnaît, utilise différentes écritures d’un même nombre et passe de l’une à l’autre : décimale, fractionnaire, pourcentage, puissance, notation scientifique, racine (2/5 = 0,4 = 40/100; 4/3=1.33... ; 0,375=3/8 ;3/20=0.15 ;-5/4=-1,25 ; 1,25 = 5/4 ; 0,3 = 3/10 = 30% ; 6^3 = 216 ; 10^6 = 1’000’000; 1,6^2=2,56; sqrt(4/100)=2/10)
• extrait le nombre entier de milliers, de centaines, de dizaines, d'unités, de dixièmes, de centièmes et de millièmes d'un nombres positif
• amplifie, simplifie, rend irréductible une fraction et la représente géométriquement
• compare, ordonne, encadre, intercale des (nombres entiers relatifs ainsi que des nombres écrits sous forme décimale ou fractionnaire dans Q⁺ dans Q)

- Progression des apprentissages 9e

• Reconnaissance et utilisation de propriétés des nombres naturels: critères de divisibilité, multiples, diviseurs, ppmc, pgdc, puissances, nombres premiers, produit de facteurs

• Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre, comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme :
• Entière dans Z
• décimale dans Q⁺ dans Q
• fractionnaire dans Q⁺ dans Q (y compris simplification et amplification), de pourcentage
• de puissance : a^b (a dans Q⁺, b dans N) (a dans Q ou Z, b dans N)
• Discernement des ensembles de nombres, découverte de quelques nombres irrationnels
• Exploration de quelques systèmes de numération (Rome, Egypte, Babylone, binaire, …)

Calcul

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• Effectue des calculs en respectant les propriétés des opérations.

• utilise des procédures de calcul réfléchi pour effectuer un calcul de manière efficace, par exemple :
• addition et soustraction :
  132+89 ;
  1450-635 ;
  50-12,8 ;
  12,8 - 50 ;
  1/2+1/3 ; ...
• multiplication et division :
  6·1,5 ; 0,12·10 ; 6·(-1,5) ;
  15·12 ; 144 :9 ;
  1/5·4 ; 1,8:3 ;
  1,8 :3 ; 250 :1000 ;25% de 60 ;
  les deux tiers de 24 ; …
• puissance et racine :
  0,4^2 ; 8^3 ; sqrt(8100)
  125 c’est 5 au cube ; sqrt(9)/4
  racine de 81 ;  ; sqrt(2,25)
  10^(-3) ; (1/2)^3…
• utilise un algorithme pour effectuer un calcul avec des nombres écrits sous forme décimale ou fractionnaire, par exemple :
• addition et soustraction :
  1250-546,8 ;
  1,8+7/4 ; 0,75+2/3 ;
  11/12-3/8 ; …
• multiplication, division et puissance :
  4,25·8,4 ; 1200 :7,5 ;
  5,25 :0,42 ; 5/6·3/2 ;
  2/5 :4 ;
  10^3·4/25 ; …

- Progression des apprentissages 9e

• Connaissance et utilisation des propriétés des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, parenthèses) et décomposition additive, soustractive ou multiplicative de nombres pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace ainsi que pour donner des estimations
• addition, soustraction, multiplication, division
• Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calculs mental  avec des :
• nombres rationnels positifs sous forme décimale (+, - , x, :)
• nombres relatifs de -100 à +100 (+, -, x, :)
• nombres rationnels positifs sous forme fractionnaire (+, -)
• Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des :
• nombres rationnels positifs, sous forme décimale, inférieurs à 10000, ayant au plus deux décimales (+, –, x, :)
• nombres rationnels positifs sous forme fractionnaire (+, -)

Opérations (MSN 33; 35)

Problèmes

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• résout des problèmes relatifs aux fonctions, en faisant appel à une ou plusieurs des composantes suivantes :
• distinction des grandeurs en jeu
• choix et mise en relation des données nécessaires à la résolution
• reconnaissance de la fonction sans formalisation, reconnaissance et expression de la fonction
• utilisation de représentations et d’outils de calcul appropriés
• estimation et vérification de la pertinence du résultat
• communication de la démarche et du résultat, en utilisant une représentation et un vocabulaire adéquats

- Progression des apprentissages 9e

• Résolution de problèmes en lien avec les notions étudiées (diagrammes, expressions algébriques, équations et fonctions), notamment :
• tri et organisation des informations (liste, tableau, schéma, croquis,…)
• mise en œuvre d’une démarche de résolution
• ajustement d’essais successifs
• pose de conjectures, puis validation ou réfutation
• déduction d’une ou plusieurs informations nouvelles à partir de celles qui sont connues
• réduction temporaire de la complexité d’un problème
• utilisation du langage algébrique pour établir des preuves
• vérification, puis communication d’une démarche et d’un résultat en utilisant un vocabulaire, une syntaxe ainsi que des symboles adéquats

Fonctions

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• interprète correctement les données contenues dans un tableau de valeurs ou une représentation graphique

• réalise une représentation graphique à partir : d'un tableau de valeurs, d'une expression fonctionnelle.

• détermine une expression fonctionnelle à partir d'un tableau de valeurs ou d'une représentation graphique dans le cas des fonctions du type x->b, x->ax, x->ax+b, x->x^2 (pas graphique) avec a et b dans Z

- Progression des apprentissages 9e

• Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions
• Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques
• Représentation d’une relation où interviennent deux grandeurs variables par:
• un tableau de valeurs
• une représentation graphique
• un ou plusieurs opérateurs (expression mathématique ou verbale)
• Passage d’une représentation à une autre:
• de l’opérateur au tableau de valeurs et inversement
• du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement
• Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de la proportionnalité) :
• quantité/quantité (prix, poids, devises, …), agrandissement et réduction de figures, …

Diagramme

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• interprète correctement les données contenues dans un tableau ou un diagramme
• représente une situation à l’aide d’un diagramme

- Progression des apprentissages 9e

• Lecture de données (horaires, statistiques, ....) et interprétation de diagrammes.
• Réalisation de diagramme
• interprétation et réalisation de diagrammes : diagramme cartésien, en colonnes

Algèbre : calcul littéral

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• substitue des nombres dans une expression littérale (degré <=3, nombre de variables <=3) pour en calculer la valeur
• élabore des expressions littérales dans des situations numériques ou géométriques
• effectue des opérations avec des polynômes, par exemple :
  4c-c ; z-2z ; 2x^2+x^2 ; -2a^2+1+6a^2-3a ; b-(2-3b) ;2y^2-3y ; (5x)^2: -3(x+2)
  x^2(y+5) ; (x+2)(x+3), (y^2-1)(y-5); (a+b)^2
  c-2/5x ; x^2+x^2/2 ; x^2y-1,5x^2y ; -2a^2+a-7+6a^2-3a ; y^2 y/3; 2a(3a)^3 ;
  x^2-(x+1)(X-1) : -3,5(-x+2) ; xy^2(y-5) ; (x+2)(x^6+3) ; (3y^2-1)(5-y); (x-y)(y+y)(x+y)

- Progression des apprentissages 9e

• Connaissance et utilisation de quelques règles et conventions d’écriture
• Détermination de la valeur numérique d’une expression littérale (bh/2, 4x +5, p r2, abc, x3,…) en substituant des nombres aux variables
• Élaboration d’expressions littérales à partir d’énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d’expressions verbale
  

  Algèbre : équations

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• résout un problème après l'avoir traduit par une équation du premier degré à une inconnue ou un système d'équations du premier degré à deux inconnues
• détermine algébriquement l'ensemble des solutions d'une équation du premier degré à une inconnue, par exemple:
  4x + 5 = 3 - 2x
  7 (y+10) = 105
  8a+3=2(4a-5)
  3x-2 = 2x-2+x
  2z^2-z=2(z^2+3)
  8x=3x
  (y+10)/3=105
  7a+3=2(3,5a-5)
  2z^2-z=2(z^2+3)
  x/2+x/3=4x+1
  (x+1)/2=(2x-1)/3
  10(8x+5)=50-20x
  
• détermine algébriquement l'ensemble de solutions d'un système d'équations du premier degré à deux inconnues, par exemple:
  2/3x=y
  9y+8=6x
  
  5x+20y=10
  x-y=12
• exprime une des variables d'une formule connue en fonction des autres
  

- Progression des apprentissages 9e

Grandeurs et mesures (MSN 34; 35)

Problèmes

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• résout des problèmes de mesurage en faisant appel à une ou plusieurs des composantes suivantes :
• choix et mise en relation des données nécessaires à la résolution
• distinction des grandeurs en jeu dans une situation donnée
• organisation d’un mesurage (choix d’une procédure, d’un instrument de mesure, d’une formule de calcul, d’une unité de mesure)
• vérification de la pertinence du résultat
• communication de la démarche et du résultat

- Progression des apprentissages 9e

• Résolution de problèmes de mesurage en lien avec les grandeurs et les théorèmes étudiés, notamment :
• tri et organisation des informations (liste, tableau, schéma, croquis, …)
• mise en œuvre d’une démarche de résolution
• ajustement d’essais successifs
• pose de conjectures, puis validation ou réfutation
• déduction d’une ou plusieurs informations nouvelles à partir de celles qui sont connues
• réduction temporaire de la complexité d’un problème
• utilisation des propriétés des figures et des grandeurs pour établir des preuves
• vérification, puis communication d’une démarche et d’un résultat en utilisant un vocabulaire, une syntaxe ainsi que des symboles adéquats

Mesure de grandeurs et conversion d'unités

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• exprime une grandeur à l’aide d’une unité conventionnelle
• utilise un instrument adapté pour mesurer une longueur, un angle, un temps, une masse
• exprime une même grandeur dans différentes unités (cas usuels et raisonnables)

- Progression des apprentissages 9e

• Comparaison, classement et mesure de grandeurs (longueur, aire, volume, angle, masse) par manipulation de lignes, angles, surfaces ou solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles (sur les 3 années)
• Estimation de grandeurs, choix d’une unité adéquate, prise de mesure à l’aide d’un instrument adapté et expression d’une grandeur dans diverses unités
• longueur
• masse
• angle (mesure en degrés)
• aire, à consolider en 10 ème, qu'en 9ème
• volume, à consolider en 10ème
• temps, à consolider en 10ème
• Exploitation des aspects culturels (degré Farhenheit, mile, pouce, mille marin, nœud, ...) et historiques liés
  (coudée, pied, arpent, ...) de la mesure (3 années)

Calcul de grandeurs

- Attentes fondamentales (Au cours, mais au plus tard à la fin du 3e cycle, l'élève...) :

• calcule le périmètre et l'aire de polygones, de disques, de figures composées, de secteurs circulaires
• calcule l’aire de la surface d’un parallélépipède rectangle, de prismes droits, de cylindres, de pyramides
• calcule le volume de prismes droits et de cylindres, de pyramides, de cônes
• Calcule une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues
  
• utilise le théorème de Pythagore dans le plan, dans l'espace
• utilise le théorème de Thalès dans le plan

- Progression des apprentissages 9e

• Mesure des dimensions adéquates et calcul :
• du périmètre d’un polygone
• de l’aire d’un carré, d’un rectangle
• de l’aire d’un triangle, d’un parallélogramme, d’un losange (par décomposition et à l’aide d’une formule)
• de l’aire d’un polygone par décomposition en figures simples
• du volume du cube et du parallélépipède rectangle et leurs aires latérales
• du volume de prismes droits par décomposition et à l’aide d’une formule
• de l’aire de la surface d’un prisme droit